t-分布（学生分布）, t-distribution 的定义及性质

t-分布, t-distribution 的定义及性质

摘要

t

t

t-分布的定义

t

t

t-分布与正态分布抽样的关系

t

t

t-分布的概率密度函数

t

t

t-分布的性质

t

t

t-分布的期望与方差

t

t

t-分布的平方当

p

→

∞

p \rightarrow \infty

p→∞ 时

t

t

t-分布的极限

Python包中的

t

t

t-分布参考文献

摘要

本文将简要介绍

t

t

t 分布 （学生分布）的定义及性质。

t

t

t分布可以由正态分布抽样的样本均值与样本方差定义得到，也可以直接通过其概率密度函数定义得到。

t

t

t-分布的定义

t

t

t-分布与正态分布抽样的关系

假设我们有一个正态分布

N

(

μ

,

σ

2

)

N(\mu, \sigma^2)

N(μ,σ2)，

X

1

,

X

2

,

⋯

,

X

n

X_1, \, X_2, \cdots, \, X_n

X1​,X2​,⋯,Xn​ 是独立的来自

N

(

μ

,

σ

2

)

N(\mu, \sigma^2)

N(μ,σ2) 的抽样随机变量。于是，

X

1

,

X

2

,

⋯

,

X

n

X_1, \, X_2, \cdots, \, X_n

X1​,X2​,⋯,Xn​ 的样本均值 (

X

ˉ

\bar{X}

Xˉ) 与样本方差 (

S

2

S^2

S2) 分别为：

X

ˉ

=

∑

i

=

1

n

X

i

n

,

S

2

=

1

n

−

1

∑

i

=

1

n

(

X

i

−

X

ˉ

)

2

\bar{X} = \frac{\sum_{i = 1}^n X_i}{n}, S^2 =\dfrac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^n (X_i - \bar{X})^2

Xˉ=n∑i=1n​Xi​​,S2=n−11​i=1∑n​(Xi​−Xˉ)2

我们在卡方分布那一篇文章 [1] 中介绍过，

(

n

−

1

)

S

2

/

σ

2

\displaystyle (n - 1)S^2/\sigma^2

(n−1)S2/σ2 服从的是自由度为

n

−

1

n - 1

n−1 的

χ

2

\chi^2

χ2 分布。

现在我们考虑

X

ˉ

−

μ

S

/

n

\displaystyle \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

S/n

​Xˉ−μ​。经过简单的代数处理，我们有

X

ˉ

−

μ

S

/

n

=

(

X

ˉ

−

μ

)

/

(

σ

/

n

)

S

2

/

σ

2

\displaystyle \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} =\frac{(\bar{X} - \mu) / (\sigma / \sqrt{n})}{\sqrt{S^2 / \sigma^2}}

S/n

​Xˉ−μ​=S2/σ2

​(Xˉ−μ)/(σ/n

​)​。

可以看到，分子

(

X

ˉ

−

μ

)

/

(

σ

/

n

)

\displaystyle (\bar{X} - \mu) / (\sigma / \sqrt{n})

(Xˉ−μ)/(σ/n

​) 服从标准正态分布，而

S

2

/

σ

2

\sqrt{S^2 / \sigma^2}

S2/σ2

​ 是

χ

n

−

1

2

/

(

n

−

1

)

\sqrt{\chi^2_{n - 1} / (n - 1)}

χn−12​/(n−1)

​ 。我们定义

X

ˉ

−

μ

S

/

n

\displaystyle \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

S/n

​Xˉ−μ​ 服从的分布为自由度是

n

−

1

n - 1

n−1 的

t

t

t-分布。

换言之，

定义 : 如果我们有两个独立的随机变量

U

,

V

U, \, V

U,V。

U

∼

N

(

0

,

1

)

U \sim N(0, 1)

U∼N(0,1)，

V

∼

χ

p

2

V \sim \chi^2_p

V∼χp2​。即

U

U

U 服从标准正态分布，

V

V

V 服从自由度为

p

p

p 的卡方分布。那么

U

/

V

/

p

U / \sqrt{V / p}

U/V/p

​ 服从的分布是一个自由度为

p

p

p 的

t

t

t-分布。

t

t

t-分布的概率密度函数

我们也可以直接从

t

t

t-分布的概率密度函数（pdf）来定义

t

t

t-分布。如果随机变量

X

X

X 的 pdf 为

f

X

(

t

)

=

Γ

(

p

+

1

2

)

Γ

(

p

2

)

1

p

π

(

1

+

t

2

/

p

)

−

p

+

1

2

,

−

∞

<

t

<

∞

，

(1)

f_{X} (t) = \frac{\Gamma(\frac{p + 1}{2})}{\Gamma{(\frac{p}{2}})} \frac{1}{\sqrt{p \pi}} (1 + t^2 / p)^{-\frac{p + 1}{2}}, -\infty < t < \infty ，\tag{1}

fX​(t)=Γ(2p​)Γ(2p+1​)​pπ

​1​(1+t2/p)−2p+1​,−∞

X

X

X 服从自由度为

p

p

p 的

t

t

t-分布。

那么如何去验证根据之前通过标准正态分布与卡方分布定义的

t

t

t-分布的 pdf 就是 (1) 呢。在 Casella 书中用的是经典的构造二元变换的方法去证明的。有兴趣的读者可参加 Casella Definition 5.3.4 后面的证明 [2]。

t

t

t-分布的性质

t

t

t-分布的期望与方差

假设

X

p

X_p

Xp​ 是服从自由度为

p

p

p 的

t

t

t-分布，那么我们有

E

(

X

p

)

=

0

,

p

>

1

;

\mathbb{E} ( X_p ) = 0, p > 1;

E(Xp​)=0,p>1;

Var

(

X

p

)

=

p

p

−

2

,

p

>

2.

\text{Var} (X_p) = \frac{p}{p - 2}, p > 2.

Var(Xp​)=p−2p​,p>2. 而当

p

=

1

p = 1

p=1 时，

t

t

t-分布的期望不存在；当

p

≤

2

p \leq 2

p≤2 时,

t

t

t-分布的方差不存在。

t

t

t-分布的期望与方差的证明略微复杂。

我们先来看期望。

当

p

=

1

p = 1

p=1，

t

t

t-分布的期望不存在。这是因为当

p

=

1

p = 1

p=1时，

t

t

t-分布的 pdf 为

f

(

t

)

=

1

π

1

1

+

t

2

\displaystyle f(t) = \frac{1}{\pi} \frac{1}{1 + t^2}

f(t)=π1​1+t21​。正好是 Cauchy 分布的 pdf。我们知道 Cauchy 分布的期望是没定义的（undefined）。故自由度为 1 的

t

t

t-分布的期望也是没定义的。 当

p

>

1

p > 1

p>1 时，

E

(

X

p

)

=

∫

−

∞

∞

Γ

(

p

+

1

2

)

Γ

(

p

2

)

1

p

π

t

(

1

+

t

2

/

p

)

p

+

1

2

d

t

,

p

>

1

\displaystyle \mathbb{E}(X_p) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\Gamma(\frac{p + 1}{2})}{\Gamma{(\frac{p}{2}})} \frac{1}{\sqrt{p \pi}} \frac{t}{ (1 + t^2 / p)^{\frac{p + 1}{2}} } dt, \, p > 1

E(Xp​)=∫−∞∞​Γ(2p​)Γ(2p+1​)​pπ

​1​(1+t2/p)2p+1​t​dt,p>1。 我们要证明

E

(

X

p

)

=

0

\displaystyle \mathbb{E}(X_p) = 0

E(Xp​)=0。 注意这里我们不能用被积分函数

Γ

(

p

+

1

2

)

Γ

(

p

2

)

1

p

π

t

(

1

+

t

2

/

p

)

p

+

1

2

\displaystyle \frac{\Gamma(\frac{p + 1}{2})}{\Gamma{(\frac{p}{2}})} \frac{1}{\sqrt{p \pi}} \frac{t}{ (1 + t^2 / p)^{\frac{p + 1}{2}} }

Γ(2p​)Γ(2p+1​)​pπ

​1​(1+t2/p)2p+1​t​ 是奇函数来证明它的积分等于 0。这是因为积分上下限均为无穷大，要证明这个 improper 积分有定义，我们必须证明

∫

0

∞

Γ

(

p

+

1

2

)

Γ

(

p

2

)

1

p

π

t

(

1

+

t

2

/

p

)

p

+

1

2

d

t

\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{\Gamma(\frac{p + 1}{2})}{\Gamma{(\frac{p}{2}})} \frac{1}{\sqrt{p \pi}} \frac{t}{ (1 + t^2 / p)^{\frac{p + 1}{2}} } dt

∫0∞​Γ(2p​)Γ(2p+1​)​pπ

​1​(1+t2/p)2p+1​t​dt 是有限的（当

p

>

1

p > 1

p>1 时）。下面我们来看积分

∫

0

∞

Γ

(

p

+

1

2

)

Γ

(

p

2

)

1

p

π

t

(

1

+

t

2

/

p

)

p

+

1

2

d

t

.

\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{\Gamma(\frac{p + 1}{2})}{\Gamma{(\frac{p}{2}})} \frac{1}{\sqrt{p \pi}} \frac{t}{ (1 + t^2 / p)^{\frac{p + 1}{2}} } dt.

∫0∞​Γ(2p​)Γ(2p+1​)​pπ

​1​(1+t2/p)2p+1​t​dt.

把常数提取出来，我们须要证明

∫

0

∞

t

(

1

+

t

2

/

p

)

p

+

1

2

d

t

\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{t}{ (1 + t^2 / p)^{\frac{p + 1}{2}} } dt

∫0∞​(1+t2/p)2p+1​t​dt 是有限的。首先做变换

u

=

t

p

\displaystyle u = \frac{t}{\sqrt{p}}

u=p

​t​，我们有

∫

0

∞

t

(

1

+

t

2

/

p

)

p

+

1

2

d

t

=

p

∫

0

∞

u

(

1

+

u

2

)

p

+

1

2

d

u

\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{t}{ (1 + t^2 / p)^{\frac{p + 1}{2}} } dt = p \int_0^{\infty} \frac{u}{ (1 + u^2)^{\frac{p + 1}{2}} } du

∫0∞​(1+t2/p)2p+1​t​dt=p∫0∞​(1+u2)2p+1​u​du。然后再做变换

y

=

(

1

+

u

2

)

−

1

y = (1 + u^2)^{-1}

y=(1+u2)−1。于是我们有

p

∫

0

∞

u

(

1

+

u

2

)

p

+

1

2

d

u

=

p

2

∫

0

1

y

p

−

3

2

d

y

\displaystyle p \int_0^{\infty} \frac{u}{ (1 + u^2)^{\frac{p + 1}{2}} } du = \frac{p}{2} \int_0^1 y^{\frac{p - 3}{2}} dy

p∫0∞​(1+u2)2p+1​u​du=2p​∫01​y2p−3​dy。因为

p

>

1

p > 1

p>1，所以

∫

0

1

y

p

−

3

2

d

y

=

2

p

−

1

\displaystyle \int_0^1 y^{\frac{p - 3}{2}} dy = \frac{2}{p - 1}

∫01​y2p−3​dy=p−12​。所以

p

∫

0

∞

u

(

1

+

u

2

)

p

+

1

2

d

u

=

p

2

∫

0

1

y

p

−

3

2

d

y

=

p

p

−

1

\displaystyle p \int_0^{\infty} \frac{u}{ (1 + u^2)^{\frac{p + 1}{2}} } du = \frac{p}{2} \int_0^1 y^{\frac{p - 3}{2}} dy = \frac{p}{p - 1}

p∫0∞​(1+u2)2p+1​u​du=2p​∫01​y2p−3​dy=p−1p​。从而

∫

0

∞

t

(

1

+

t

2

/

p

)

p

+

1

2

d

t

\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{t}{ (1 + t^2 / p)^{\frac{p + 1}{2}} } dt

∫0∞​(1+t2/p)2p+1​t​dt 是有限的。故我们可以得出

E

(

X

p

)

=

∫

−

∞

∞

Γ

(

p

+

1

2

)

Γ

(

p

2

)

1

p

π

t

(

1

+

t

2

/

p

)

p

+

1

2

d

t

=

0

\displaystyle \mathbb{E}(X_p) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\Gamma(\frac{p + 1}{2})}{\Gamma{(\frac{p}{2}})} \frac{1}{\sqrt{p \pi}} \frac{t}{ (1 + t^2 / p)^{\frac{p + 1}{2}} } dt = 0

E(Xp​)=∫−∞∞​Γ(2p​)Γ(2p+1​)​pπ

​1​(1+t2/p)2p+1​t​dt=0，当

p

>

1

p > 1

p>1 的时候。

E

(

X

p

)

=

0

,

p

>

1

\mathbb{E} ( X_p ) = 0, p > 1

E(Xp​)=0,p>1。

下面再来看

t

t

t-分布的方差。当

p

=

1

p = 1

p=1时，由于

t

t

t-分布的期望没有定义，所以其方差也没有定义。当

p

=

2

p = 2

p=2时，我们要证明

t

t

t-分布的方差还是没有定义。这就须要计算

E

(

X

2

)

\mathbb{E} (X^2)

E(X2)。当

p

=

2

p = 2

p=2 时，

E

(

X

2

)

=

∫

−

∞

∞

Γ

(

p

+

1

2

)

Γ

(

p

2

)

1

p

π

t

2

(

1

+

t

2

/

p

)

p

+

1

2

d

t

\mathbb{E} (X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\Gamma(\frac{p + 1}{2})}{\Gamma{(\frac{p}{2}})} \frac{1}{\sqrt{p \pi}} \frac{t^2}{ (1 + t^2 / p)^{\frac{p + 1}{2}} } dt

E(X2)=∫−∞∞​Γ(2p​)Γ(2p+1​)​pπ

​1​(1+t2/p)2p+1​t2​dt 把常数项

Γ

(

p

+

1

2

)

Γ

(

p

2

)

1

p

π

\displaystyle \frac{\Gamma(\frac{p + 1}{2})}{\Gamma{(\frac{p}{2}})} \frac{1}{\sqrt{p \pi}}

Γ(2p​)Γ(2p+1​)​pπ

​1​ 提出积分号外，我们须要计算

∫

−

∞

∞

t

2

(

1

+

t

2

/

p

)

p

+

1

2

d

t

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{t^2}{ (1 + t^2 / p)^{\frac{p + 1}{2}} } dt

∫−∞∞​(1+t2/p)2p+1​t2​dt。类似上面我们计算期望的技巧，首先先做变换

u

=

t

p

\displaystyle u = \frac{t}{\sqrt{p}}

u=p

​t​，我们有

∫

−

∞

∞

t

2

(

1

+

t

2

/

p

)

p

+

1

2

d

t

=

p

p

∫

−

∞

∞

u

2

(

1

+

u

2

)

p

+

1

2

d

u

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{t^2}{ (1 + t^2 / p)^{\frac{p + 1}{2}} } dt = \displaystyle p \sqrt{p} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ u^2}{ (1 + u^2)^{\frac{p + 1}{2}} } du

∫−∞∞​(1+t2/p)2p+1​t2​dt=pp

​∫−∞∞​(1+u2)2p+1​u2​du。再做变换

y

=

(

1

+

u

2

)

−

1

y = (1 + u^2)^{-1}

y=(1+u2)−1，我们有

∫

−

∞

∞

u

2

(

1

+

u

2

)

p

+

1

2

d

u

=

2

∫

0

∞

u

2

(

1

+

u

2

)

p

+

1

2

d

u

=

∫

0

1

(

1

−

y

)

1

/

2

y

p

2

−

2

d

y

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ u^2}{ (1 + u^2)^{\frac{p + 1}{2}} } du =2 \int_{0}^{\infty} \frac{ u^2}{ (1 + u^2)^{\frac{p + 1}{2}} } du = \int_0^1 (1 - y)^{1 / 2} y^{\frac{p}{2} - 2} dy

∫−∞∞​(1+u2)2p+1​u2​du=2∫0∞​(1+u2)2p+1​u2​du=∫01​(1−y)1/2y2p​−2dy.

于是，当

p

=

2

p = 2

p=2 时，积分就变成了

∫

0

1

(

1

−

y

)

1

/

2

y

−

1

d

y

\displaystyle \int_0^1 (1 - y)^{1 / 2} y^{-1} dy

∫01​(1−y)1/2y−1dy。这个积分是无穷大的，所以

E

(

X

2

)

=

∞

\mathbb{E} (X^2) = \infty

E(X2)=∞。于是当

p

=

2

p = 2

p=2 时，

X

X

X 的方差为无穷大。

而当

p

>

2

p > 2

p>2 时，

∫

0

1

(

1

−

y

)

1

/

2

y

p

2

−

2

d

y

=

Γ

(

3

2

)

Γ

(

p

2

−

1

)

Γ

(

p

+

1

2

)

\displaystyle \int_0^1 (1 - y)^{1 / 2} y^{\frac{p}{2} - 2} dy = \frac{\Gamma(\frac{3}{2}) \Gamma(\frac{p}{2} - 1)}{\Gamma(\frac{p + 1}{2})}

∫01​(1−y)1/2y2p​−2dy=Γ(2p+1​)Γ(23​)Γ(2p​−1)​。把常数项加上，我们有

E

(

X

2

)

=

Γ

(

p

+

1

2

)

Γ

(

p

2

)

1

p

π

×

p

p

×

Γ

(

3

2

)

Γ

(

p

2

−

1

)

Γ

(

p

+

1

2

)

=

p

p

−

2

\displaystyle \mathbb{E} (X^2) = \frac{\Gamma(\frac{p + 1}{2})}{\Gamma{(\frac{p}{2}})} \frac{1}{\sqrt{p \pi}} \times p \sqrt{p} \times \frac{\Gamma(\frac{3}{2}) \Gamma(\frac{p}{2} - 1)}{\Gamma(\frac{p + 1}{2})} = \frac{p}{p - 2}

E(X2)=Γ(2p​)Γ(2p+1​)​pπ

​1​×pp

​×Γ(2p+1​)Γ(23​)Γ(2p​−1)​=p−2p​ 于是，

Var

(

X

)

=

p

p

−

2

\displaystyle \text{Var} (X) = \frac{p}{p - 2}

Var(X)=p−2p​，当

p

>

2

p > 2

p>2 时。

t

t

t-分布的平方

假设

X

∼

t

q

X \sim t_q

X∼tq​，即

X

X

X 服从自由度为

q

q

q 的

t

t

t-分布。那么

X

2

∼

F

1

,

q

X^2 \sim F_{1, \, q}

X2∼F1,q​，即

X

2

X^2

X2 服从自由度为

(

1

,

q

)

(1, \, q)

(1,q) 的

F

F

F-分布。

我们知道自由度为

p

p

p 和

q

q

q 的

F

F

F-分布的 pdf 为

f

F

(

x

)

=

Γ

(

p

+

q

2

)

Γ

(

p

2

)

Γ

(

q

2

)

(

p

q

)

p

/

2

x

p

/

2

−

1

[

1

+

(

p

/

q

)

x

]

(

p

+

q

)

/

2

,

0

<

x

<

∞

f_F(x) = \frac{\Gamma(\frac{p + q}{2})}{\Gamma(\frac{p}{2}) \Gamma(\frac{q}{2})} \left( \frac{p}{q} \right)^{p / 2} \frac{x^{p / 2 - 1}}{[1 + (p / q) x]^{(p + q) / 2}}, 0 < x < \infty

fF​(x)=Γ(2p​)Γ(2q​)Γ(2p+q​)​(qp​)p/2[1+(p/q)x](p+q)/2xp/2−1​,0

那么自由度为 1 和

q

q

q 的

F

F

F-分布的 pdf 就为：

f

F

(

x

)

=

Γ

(

1

+

q

2

)

Γ

(

1

2

)

Γ

(

q

2

)

(

1

q

)

1

/

2

x

−

1

/

2

[

1

+

(

x

/

q

)

]

(

1

+

q

)

/

2

=

Γ

(

1

+

q

2

)

Γ

(

q

2

)

1

π

q

x

−

1

/

2

[

1

+

(

x

/

q

)

]

(

1

+

q

)

/

2

\begin{aligned} f_F(x) &= \frac{\Gamma(\frac{1 + q}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2}) \Gamma(\frac{q}{2})} \left( \frac{1}{q} \right)^{1 / 2} \frac{x^{-1/2}}{[1 + (x / q)]^{(1 + q) / 2}} \\ &= \frac{\Gamma(\frac{1 + q}{2})}{\Gamma(\frac{q}{2})} \frac{1}{\sqrt{\pi q}} \frac{x^{-1/2}}{[1 + (x / q)]^{(1 + q) / 2}} \\ \end{aligned}

fF​(x)​=Γ(21​)Γ(2q​)Γ(21+q​)​(q1​)1/2[1+(x/q)](1+q)/2x−1/2​=Γ(2q​)Γ(21+q​)​πq

​1​[1+(x/q)](1+q)/2x−1/2​​

我们须要证明

X

2

X^2

X2 服从的分布正好是自由度为 1 和

q

q

q 的

F

F

F-分布。

这里的证明方法和我们在《chi square-卡方分布的定义及性质》 附录中证明正态分布平方的方法一样，先表示出

X

2

X^2

X2 的累积分布函数，然后求导。具体计算方法如下。

F

(

k

)

=

P

(

Y

≤

k

)

=

P

(

−

k

≤

x

≤

k

)

=

∫

0

k

Γ

(

q

+

1

2

)

Γ

(

q

2

)

1

q

π

(

1

+

t

2

q

)

−

q

+

1

2

d

t

−

∫

0

−

k

Γ

(

q

+

1

2

)

Γ

(

q

2

)

1

q

π

(

1

+

t

2

q

)

−

q

+

1

2

d

t

\begin{aligned}F(k) &= P(Y \leq k) = P(-\sqrt{k} \leq x \leq \sqrt{k} ) \\ &= \int_0^{\sqrt{k}} \frac{\Gamma({\frac{q + 1}{2})}}{\Gamma({\frac{q}{2}})} \frac{1}{\sqrt{q \pi}} \left( 1 + \frac{t^2}{q} \right)^{-\frac{q + 1}{2}} dt - \int_0^{-\sqrt{k}} \frac{\Gamma({\frac{q + 1}{2})}}{\Gamma({\frac{q}{2}})} \frac{1}{\sqrt{q \pi}} \left( 1 + \frac{t^2}{q} \right)^{-\frac{q + 1}{2}} dt \\ \end{aligned}

F(k)​=P(Y≤k)=P(−k

​≤x≤k

​)=∫0k

​​Γ(2q​)Γ(2q+1​)​qπ

​1​(1+qt2​)−2q+1​dt−∫0−k

​​Γ(2q​)Γ(2q+1​)​qπ

​1​(1+qt2​)−2q+1​dt​

对

k

k

k 求导，有

d

F

(

k

)

d

k

=

Γ

(

q

+

1

2

)

Γ

(

q

2

)

1

q

π

(

1

+

k

q

)

−

q

+

1

2

1

2

1

k

−

Γ

(

q

+

1

2

)

Γ

(

q

2

)

1

q

π

(

1

+

k

q

)

−

q

+

1

2

(

−

1

2

)

1

k

=

Γ

(

q

+

1

2

)

Γ

(

q

2

)

1

q

π

(

1

+

k

q

)

−

q

+

1

2

1

k

\begin{aligned} \frac{dF(k)}{dk} &= \frac{\Gamma({\frac{q + 1}{2})}}{\Gamma({\frac{q}{2}})} \frac{1}{\sqrt{q \pi}} \left( 1 + \frac{k}{q} \right)^{-\frac{q + 1}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{\Gamma({\frac{q + 1}{2})}}{\Gamma({\frac{q}{2}})} \frac{1}{\sqrt{q \pi}} \left( 1 + \frac{k}{q} \right)^{-\frac{q + 1}{2}} (-\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{k}} \\ &= \frac{\Gamma({\frac{q + 1}{2})}}{\Gamma({\frac{q}{2}})} \frac{1}{\sqrt{q \pi}} \left( 1 + \frac{k}{q} \right)^{-\frac{q + 1}{2}} \frac{1}{\sqrt{k}} \end{aligned}

dkdF(k)​​=Γ(2q​)Γ(2q+1​)​qπ

​1​(1+qk​)−2q+1​21​k

​1​−Γ(2q​)Γ(2q+1​)​qπ

​1​(1+qk​)−2q+1​(−21​)k

​1​=Γ(2q​)Γ(2q+1​)​qπ

​1​(1+qk​)−2q+1​k

​1​​

这就是自由度为 1 和

q

q

q 的

F

F

F-分布的 pdf。

□

\square

□

当

p

→

∞

p \rightarrow \infty

p→∞ 时

t

t

t-分布的极限

当

p

→

∞

p \rightarrow \infty

p→∞ 时，对于任意

x

x

x，

t

t

t-分布的 pdf

f

(

x

∣

p

)

→

1

2

π

e

−

x

2

/

2

\displaystyle f(x \vert p) \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2}

f(x∣p)→2π

​1​e−x2/2.

这里我们用 Gamma 分布的 Stirling 公式近似来证明。Stirling 公式是说

lim

⁡

n

→

∞

e

n

n

!

n

n

n

=

2

π

\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{e^n n!}{n^n \sqrt{n}} = \sqrt{2 \pi}

n→∞lim​nnn

​enn!​=2π

​。而对于 Gamma 函数，我们有

Γ

(

z

)

=

2

π

z

(

z

e

)

z

(

1

+

O

(

1

z

)

)

\Gamma(z) = \sqrt{\frac{2 \pi}{z}} \left( \frac{z}{e} \right)^z \left( 1 + \mathcal{O} \big( \frac{1}{z} \big) \right)

Γ(z)=z2π​

​(ez​)z(1+O(z1​))

代入

t

t

t-分布的 pdf，我们有

lim

⁡

p

→

∞

Γ

(

p

+

1

2

)

Γ

(

p

2

)

=

2

π

p

+

1

2

2

π

p

2

(

(

p

+

1

2

e

)

p

+

1

2

(

p

2

e

)

p

2

)

(

1

+

O

(

1

p

)

)

→

p

p

+

1

p

+

1

2

e

(

1

+

1

p

)

p

2

=

p

/

2

\begin{aligned} \lim_{p \rightarrow \infty} \frac{\Gamma(\frac{p + 1}{2})}{\Gamma(\frac{p}{2})} &= \frac{\sqrt{\frac{2 \pi}{\frac{p + 1}{2}}}}{ \sqrt{ \frac{ 2 \pi }{ \frac{p}{2} } } } \left( \frac{ (\frac{ p + 1 }{ 2e })^{\frac{ p + 1 }{ 2 }} }{ ( \frac{ p }{2e} )^{\frac{ p }{ 2 }} } \right) (1 + \mathcal{O} (\frac{1}{p} ) ) \\ & \rightarrow \sqrt{ \frac{p}{p + 1} } \sqrt{ \frac{p + 1}{2 e} }\left(1 + \frac{1}{p} \right)^{\frac{p}{2}} = \sqrt{p / 2} \end{aligned}

p→∞lim​Γ(2p​)Γ(2p+1​)​​=2p​2π​

​2p+1​2π​

​​((2ep​)2p​(2ep+1​)2p+1​​)(1+O(p1​))→p+1p​

​2ep+1​

​(1+p1​)2p​=p/2

​​

我们知道

(

1

+

t

2

/

p

)

−

p

+

1

2

→

e

−

t

2

2

\displaystyle (1 + t^2 / p)^{-\frac{p + 1}{2}} \rightarrow e^{-\frac{t^2}{2}}

(1+t2/p)−2p+1​→e−2t2​ 。代入上面得到的 Gamma 函数的近似，我们有

f

(

x

∣

p

)

→

1

2

π

e

−

x

2

/

2

\displaystyle f(x \vert p) \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2}

f(x∣p)→2π

​1​e−x2/2。

事实上，因为我们知道

t

t

t-分布的 pdf 积分为 1，所以 Gamma 函数部分只是一个 normalization factor。所以我们在得到

(

1

+

t

2

/

p

)

−

p

+

1

2

→

e

−

t

2

2

\displaystyle (1 + t^2 / p)^{-\frac{p + 1}{2}} \rightarrow e^{-\frac{t^2}{2}}

(1+t2/p)−2p+1​→e−2t2​ 之后，就可以说

t

t

t-分布的 pdf 当

p

→

∞

p \rightarrow \infty

p→∞ 的极限是标准正态分布的 pdf 。

Python包中的

t

t

t-分布

我们可以用 Python 中的 scipy.stats.t 来计算常用的与

t

t

t-分布相关的值。

from scipy.stats import t

t.pdf(x, df) # 自由度为 df 的 t-分布的pdf 在 x 的值

t.ppf(q, df) # 自由度为 df 的 t-分布的q 分位值。0 <= q <=1

t.cdf(x, df) # 自由度为 df 的 t-分布的 cdf 在 x 的值

t.rvs(df, size=1) # 生成大小为 size 的随机变量

参考文献

[1] chi square-卡方分布的定义及性质

[2] George Casella, Roger L. Berger, Statistical inference, Chapter 5.3