标准差和方差

标准差和方差

差的意思是离正常有多远

标准差

标准差是数值分散的测量。

标准差的符号是 σ （希腊语字母 西格马，英语 sigma）

公式很简单：方差的平方根。那么…… "方差是什么？"

方差

方差的定义是：

离平均的平方距离的平均。

按照以下的步骤来计算方差：

求数值的 平均

从每一个数值减去平均，然后求差的平方。

求结果的平均。（为什么要求平方？)

例子

你和朋友们量度了狗狗的身高（毫米）：

身高（到肩膀）是：600mm、470mm、170mm、430mm

和 300mm。

求平均、方差和标准差。

第一步是求平均：

答案：

平均 = 600 + 470 + 170 + 430 + 3005 = 19705 = 394

平均身高是 394 mm。我们画在图上：

接着求每条狗和平均的距离：

要计算方差，求每个距离的平方，然后求平均：

方差是 21,704

标准差是方差的平方根：

标准差

σ

= √21,704

= 147.32……

= 147 （到最近的毫米）

标准差很有用。

我们现在可以显示哪个高度是在离平均一个标准差（147mm）之内：

标准差是一个甄别数值是正常与否的"标准"。

罗德维拉犬是高的狗，腊肠犬是矮的狗……但不要告诉它们！

现在去试试 标准差计算器。

可是……如果数据是样本数据

以上例子的数据是对象总体的数据（我们的对象就是那 5条狗）。

但如果数据是个样本（只是对象总体的一部分），计算便会有点改变！

如果你有 "N"个数值，而这些数值是：

对象总体：在求方差时除以 N（如上）

样本：在求方差时除以 N-1

其他的计算步骤不变，包括计算平均在内。

例子：如果我们的 5条狗只是更多狗里的的一个样本，我们便要除以 4，而不是除以 5：

样本方差 = 108,520 / 4 = 27,130

样本标准差 = √27,130 = 164 （到最近的毫米）

想象这是对样本数据的 "修补"。

公式

这是在 标准差公式 网页里的两个公式（你可以去看看来了解更多）：

"对象总体标准差"：

"样本标准差"：

乍看很复杂，但其实只是在计算样本方差时，有个重要的改变：

以除以 N-1 来代替除以 N。

*脚注：为什么要求差的平方？

如果我们只把和平均的差加起来……负值和正值便会互相抵消：

4 + 4 − 4 − 44 = 0

这不行。我们可以用绝对值吗？

|4| + |4| + |−4| + |−4|4 =

4 + 4 + 4 + 4

4

= 4

不错（这叫 平均差），但看看这个例子：

|7| + |1| + |−6| + |−2|4 =

7 + 1 + 6 + 2

4

= 4

糟了！数据比较分散，但结果还是 4。

我们来试试求每个差的平方（最后才取平方根）：

√(

42 + 42 + 42 + 424) = √(

64

4

) = 4

√(

72 + 12 + 62 + 22

4) = √(

90

4

) = 4.74...

好极了！当数据比较分散时，标准差也比较大……正是我们想要的。

其实这个方法和 两点之间的距离 都是基于同一个原理，不过应用不同而已。

同时，用代数来处理平方和平方根比处理绝对值要容易很多，标准差也比较容易被应用在其他数学领域。

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